Ланцюговий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді , коли воно раціональне.
Будь-яке дійсне число x може бути представлене ланцюговим дробом [ а0; a1, a2, a3,... ], де
...
...
де [x] позначає цілу частину числа x..
Для раціонального числа x цей розклад завершиться після одержання нульового xn для деякого n. В цьому випадку [x] представляється скінченним ланцюговим дробом [ а0; a1, a2, a3,... ]
Для ірраціонального x всі величини xn будуть ненульовими і процес розкладу можна продовжувати нескінченно.
Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 | |
3.245 - 3 = 0.245 | 1 / 0.245 = 4.082 |
4.082 - 4 = 0.082 | 1 / 0.082 =12.250 |
12.250 - 12 = 0.250 | 1 / 0.250 = 4.000 |
4.000 - 4 = 0.000 | STOP |
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4] | |
n-им наближеним дробом для ланцюгового дробу x =[а0; a1, a2, a3,... ], називається скінченний ланцюговий дріб [а0; a1, a2, ..., an,... ], значення якого можна подати pn / qn.
Наближений дріб pn / qn є найкращим наближенням для x серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує qn
Застосування ланцюгових дробів
При розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
1/4; 7/29; 8/33; 31/128; 132/545...
Перший з цих дробів є основою юліанського календаря. Він означає, що раз в 4 роки треба додавати зайвий день. При цьому помилка в 1 день накопичується за 128 років. Друге значення (7/29) ніколи не використовувалося, оскільки воно мало відрізняється від наступного, набагато більш точного. Третій дріб (8/33), тобто 8 високосних років за період в 33 роки, був запропонований Омаром Хайямом в XI столітті і поклав початок персидському календарю, в якому помилка в день накопичується за 4500 років (в григоріанському - за 3280 років). Дуже точний варіант з четвертим дробом (31/128, помилка в добу накопичується тільки за 100000 років) пропагував німецький астроном Йоганн фон Медлер (1864 рік), проте великого інтересу він не викликав.
Вводимо в віконце дріб 67/38. Після натискання «вирахувати» отримуємо 1;1,3,4,1,1
Властивості
У математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий перетин, якщо співвідношення їх суми і більшої величини дорівнює співвідношенню більшої і меншої. Це відношення прийнято позначати грецькою буквою φ = (a+b) : a = a : b; Золотий перетин φ = [1; 1, 1, 1...]
√2¯ = [1; 2, 2, 2...]
Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'зком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
Для майже всіх дійсних чисел середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівнe константі Хінчіна (K ≈ 2.6854520010...)
Історична довідка
Античні математики вміли представляти відносини несумірних величин у вигляді ланцюжка послідовних відповідних пропорцій, отримуючи цей ланцюжок за допомогою алгоритму Евкліда. Мабуть, саме таким шляхом Архімед отримав наближення √3¯ ≈ 1351/780 це 12-й наближений дріб для √3¯ або одна третина від 4-го наближеного дробу для √27¯. У V столітті індійський математик Аріабхата застосовував аналогічний «метод подрібнення» для розв'язaння невизначених рівнянь першого та другого ступеня. За допомогою цієї ж техніки було, ймовірно, отримано відоме наближення для числа π (355/113). У XVI столітті Рафаель Бомбеллі добував з допомогою ланцюгових дробів квадратний корінь. Початок сучасної теорії ланцюгових дробів поклав в 1613 році П'єтро Антоніо Катальді. Він визначив основну їх властивість (стан між відповідними дробами) і ввів позначення, що нагадує сучасне. Пізніше його теорію розширив Джон Валліс, який і запропонував термін «безперервний дріб». Еквівалентний термін «ланцюговий дріб» з'явився в кінці XVIII століття. Застосовувалися ці дроби в першу чергу для раціонального наближення дійсних чисел; наприклад, Християн Гюйгенс використовував їх для проектування зубчастих коліс свого планетарію. Гюйгенс вже знав, що відповідні дроби завжди нескоротні і що вони представляють найкраще раціональне наближення для вихідного числа. У XVIII столітті теорію ланцюгових дробів в загальних рисах завершили Леонард Ейлер і Жозеф Луї Лагранж.