^^
СТВОРЮЄМО САЙТИ НА ЗАМОВЛЕННЯ
Програма телепередач усіх каналів
Випадковий блок новин
Наші координати
Світова статистика online
Інформаційно-освітній сайт (Категорія: Персональні сайти)
Гарного Вам настрою і позитивних емоцій. Любові, Віри і Надії! Щасливого 2021 року
Для перегляду всіх матеріалів і скачування файлів зареєструйтеся на сайті. Відвідайте форум та пограйте on-line ігри. Чекаємо відгуків у гостьовій книзі.(Інформація і технології, освіта, караоке, поезія, фізика, еротика.) Зареєстрованим-повний доступ!!! Розкажіть про наш сайт вашим друзям. Подайте своє оголошення. Приємного відпочинку.
Україна • Все життя – це експеримент. Чим більше експериментів ти робиш – тим краще (Ральф Велдоу Емерсон)
• Іноді задля точності до правди додають дрібну брехню (Войцек Бартошевський)
Україна — Слава Україні!
Героям Слава!
Беларусь — Жыве Беларусь!
Жыве вечна!
Cторінка матеріалу «Формула Піка» з категорії 5 «Наукові»

Формула Піка

Обчислення площі многокутника дуже складний та тривалий процес. У 1899 році австрійський математик Георг Пік винайшов чудову формулу для обчислення площі многокутника на папері в клітинку. Але, на жаль, в шкільній програмі вона до цього часу не вивчається, хоча є необхідним чинником для спрощення обчислень при знаходженні площ багатокутників. Цій формулі приділив велику увагу Гуго Штейнгауз включив її в свою знамениту книгу «Математичний калейдоскоп» в 1969 році, після цього вона стала широко відома великому колу математиків.

Pозділ: •Наукові• Опубліковано: 22.02.2019
Оцінка(0) Переглядів: 1437

Багатокутник без самоперетинів називається решітчатим, якщо всі його вершини знаходяться в точках с цілочисловими координатами в декартовій системі координат. Точка координатної площини називається цілочисловою якщо обидві її координати цілі числа.

Теорема Піка (1899). Знаходження площі решітчатого многокутника

S = В + Г / 2 - 1, де В — кількість цілочислових точок всередині багатокутника, Г — кількість цілочислових точок на межі багатокутника.

формула Піка

В = 7, Г = 8, S = В + Г/2 - 1 = 10

Доведення проводитися в кілька етапів: від найпростішіх фігур до довільніх багатокутників:

Одиничний квадрат. Справді, для нього S = 1, В = 0, Г = 4, формула вірна.

Прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Нехай a і b довжини сторін прямокутника. Тоді: S = ab, В = (a-1)(b-1), Г = 2(a + b). Підстановка показує, що формула Піка вірна.

Прямокутний трикутник з катетами, які паралельні осям координат. Будь-який такий трикутник можна отримати відсіканням деякого прямокутника його діагоналлю. Позначивши через з число цілочислових точок, що лежать на діагоналі, можна показати, що формула Піка виконується для такого трикутника, незалежно від значення с.

Будь-який трикутник. Такий трикутник може бути перетворений в прямокутник приклеюванням до його сторін прямокутних трикутників з катетами, паралельними осям координат (треба не більше 3 таких трикутників). Звідси отримуємо коректність формули Піка для будь-якого трикутника.

Довільний багатокутник. Для доведення розіб'ємо його на трикутники з вершинами в цілочіслових точках. Для одного трикутника формула Піка доведена. Можна довести, що при додаванні до багатокутника трикутника формула Піка зберігає свою коректність. Звідси по індукції слідує, що вона вірна для будь-якого багатокутника.

Формула Піка, за допомогою якої можна знаходити площу фігури побудованої на аркуші в клітинку (трикутник, квадрат, трапеція, прямокутник, багатокутник) не є секретом. Багатьом цей матеріал буде дуже корисний.

В задачах, є ціла група завдань, в яких дано багатокутник побудований на аркуші в клітинку і стоїть питання про знаходження площі. Масштаб клітини це один квадратний сантиметр.

ФОРМУЛА ПІКА

Площу шуканої фігури можна знайти за формулою:

S=M/2+N-1

М – кількість вузлів на межі трикутника (на сторонах і вершинах), N – кількість вузлів всередині трикутника

Під «вузлами» мається на увазі перетин ліній.

Знайдемо площу трикутника:

1 клітинка = 1 см, M = 15 (позначені червоним), N = 34 (позначені синім)

 S=15/2+34-1=40,5см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу паралелограма:

M = 18 (позначені червоним), N = 20 (позначені синім)

S=18/2+20-1=28см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу трапеції:

M = 24 (позначені червоним) N = 25 (позначені синім)

S=24/2+25-1=36см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу багатокутника:

M = 14 (позначені червоним), N = 43 (позначені синім)

S=14/2+43-1=49см2

Зрозуміло, що знаходити площу трапеції, паралелограма, трикутника простіше і швидше за відповідними формулами площ цих фігур. Але знайте, що можна це робити і таким чином. А ось коли дано багатокутник, у якого п'ять і більше кутів ця формула працює добре.

Тепер погляньте на наступні фігури:

Це типові фігури, в завданнях стоїть питання про знаходження їх площі. За допомогою формули Піка такі завдання вирішуються моментально. Наприклад, знайдемо площу фігури:

ЗАДАЧА

M = 11 (позначені червоним), N = 5 (позначені синім)

S=11/2+5-1=9,5см2

Відповідь: 9,5

ЗАДАЧА

Багатокутник (не обов'язково опуклий) на площині заданий координатами своїх вершин. Потрібно підрахувати кількість точок з цілочисельними координатами, які лежать всередині нього (але не на його межі).

Розв'зок
Для вирішення цього завдання розглянемо допоміжну задачу: відрізок заданий координатами своїх кінців, які є цілими числами. Необхідно порахувати кількість цілочисельних точок, які лежать на відрізку. Зрозуміло, що якщо відрізок вертикальний або горизонтальний, то необхідно відняти координати кінців і додати одиницю. Інтерес представляє випадок, коли відрізок не є вертикальним або горизонтальним. Виявляється в цьому випадку необхідно добудувати відрізок до прямокутного трикутника і відповіддю буде число рівне найбільшому спільному дільнику довжин катетів цього трикутника плюс одиниця.
image

Для будь-якого багатокутника з цілочисельними координатами вершин справедлива формула Піка: S = n + m/2 — 1, де S – площа багатокутника, n – кількість цілих точок, що лежть строго всередині багатокутника, m – кількість цілих точок, що лежть на межі багатокутника. Оскільки площу багатокутника ми знаємо як обчислювати, то S відомо. Так само ми можемо обчислити кількість цілих точок,які лежать на кордоні багатокутника, тому у формулі Піка залишається лише одна невідома величина, яку ми можемо знайти.
Розглянемо приклад:
image
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точок лежить строго всередині багатокутника
Ось так от вирішується ця задача!

Оцінити цей матеріал: 
Коментарів поки немає (0)


На сайті мало коментарів, тому просимо брати активнішу участь в обговоренні.

Максимум переглядів: Статті●Календар городника на 2021-2022 рік (19221)●●СОЛОНЕ ТІСТО. ЛІПЛЕННЯ. (12311)●●Короткий астрономічний календар на 2021-2022 рік (9646)●●Календар дат та подій (8253)●●Ігри на роздягання. (6479)●●Неврит лицьового нерва: лікування в домашніх умовах (6465)●●Список безкоштовних конструкторів сайтів. Зробити сайт безкоштовно (5080)●●Прошивка тв-тюнера. BISS ключі. (4558)●●Як зробити сайт популярним? (4199)●●Цікаві сайти та корисні посилання (3729)●●МОВНІ ЗАГАДКИ (3708)●●Шукаю роботу (3567)●●Віртуальні дівчата на робочий стіл (3470)● Матеріали●Математичні головоломки (5715)●●Народні прикмети про погоду (5186)●●Визначні місця України у фотографіях (4200)●●Фізика майбутнього (4155)●●СВЯТО ВРОЖАЮ (3957)● Публікації●Календар знаменних та пам'ятних дат в 2020-2021 році (38059)●●Пояс Койпера і Хмара Оорта (8523)●●Українські обереги (легенди) (7814)●●ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з МАЛЮВАННЯ (6484)●●Скільки води на Землі? (6254)●●Періодична система хімічних елементів Д.І.Менделєєва (4833)● Сторінки●Календар знаменних і пам'ятних дат для школи (128778)●●Головна (109558)●●ХРИСТОС ВОСКРЕС (9053)●●Різдво Христове (7219)●●З Новим Роком (5070)●●Гороскопи (3891)●●Тести iq (3846)●●День народження (3741)●●Логічні ігри (3440)●●Тести iq (продовження) (3434)●

Зіграйте ПАЗЛ 15


Життя кожної людини – це шлях до самої себе
Надіємось на кращий 2021 рік.
Вітаємо всіх відвідувачів сайту і

бажаємо мирного неба та гарного відпочинку.
(Адміністрація сайту)

НАШ САЙТ БЕЗ РЕКЛАМИ!!! 

Слухайте! Ніби в чарівному сні,
В школі сьогодні сіяють вогні.
Музика тут вже лунає і сміх,
Вечір у школі, вечір для всіх. 

• Проведіть по зубчикам застряглої блискавки простим олівцем - графіт в цьому випадку буде працювати як мастило
• Одяг з темного шовку та тафти довше зберігає блиск, якщо після прання її прополоскати в холодній воді з сіллю — на 5 літрів води 125 грам солі.
Підтримайте нас, розмістивши нашу кнопку в себе на сайті. Код:
Жарти, анекдоти, висловлювання

Які галузі знань вам подобаються? (Можна вибрати кілька пунктів)



 Результати
Відповідей: 79 ♥ Коментарів: 0Інші опитування
Радіо FM online
Місяць сьогодні
Місяць сьогодні
ІНФОРМЕРИ

Інформер цін на паливо в Україні

Коронавірус. Статистика

Конвертер валют

Зіграйте ПАЗЛ 15

Опитування
Вам подобається наш сайт?
 Результати
Відповідей: 46
Коментарів: 0
Календар
Дата:
Сонячний календар

Сонце сьогодні

Новини сайту
“Прямий наслідок американських санкцій”: реакція 5 президента на блокування каналів Медведчука Зеленський чи Порошенко: опитува ...

 29.01.2021 12:54

За 2020 рік і кінець 2019р. наповнення с

 07.06.2019 10:57

Випускниця Несвічівської ЗОШ Муха Юлія - чемпіонка Європи 2016 та 2017 року з армреслінгу серед юніорів!!! Відео. ...

 25.05.2017 16:51

ЛУЦЬК УНІВЕРСИТЕТ Факультет інформаційних систем, фізики та математики. Рік заснування: 2015. Історично факультет заснований у 1

 01.09.2016 19:22

Статті
Як вилікувати грибок стопи народними засобами ...

 25.11.2020 14:46

Безмежні горизонти вічної музики.Музика – древній вид мистецтва, здатний об’єднувати людей, в чому її велика сила. Різні за звичками, пристрастями, характером, поглядами, національністю, моральними принципами лю

 26.10.2020 08:24

Визначенням кращих університетів світу займається безліч рейтингових агентств, а результати їх оцінок іноді дещо відрізняються. Визначенням кращих вузів світу займається авторитетні світові агенства рейтингів вузів - QS, Times Higher Educ

 06.10.2020 22:34

Вчені показали анімацію про розмір Всесвіту ...

 07.08.2020 16:31

Українська пісня - мелодійна, пристрасна, магічна, весела, бойова, загадкова, релігійна... Давня і сучасна, небесна і земна. Ні одна нація не має такої кількост

 19.03.2020 19:52

Публікації
На свята не прийнято сидіти вдома. Кілька вихідних днів можна

 08.12.2019 13:00

Завершується епоха Hubble – у 2021 на орбіту виведуть телескоп Джеймс Вебб Телескоп Джеймс Вебб повинен замінити орбітальну ста ...

 15.10.2019 18:15

Відео у форматі 360 градусів. Панорамне відео і ві

 14.09.2019 13:52

За рік поруч із Землею пролітає більше сотні астероїдів. Дослідження говорить про те, що найбільшу небе

 06.08.2019 22:47

Теоретично квантовий комп’ютер буде здатний в одну мить проводити мільйон обчислень, в той час як класичний — тільки ...

 01.08.2019 11:32

Хто на сайті
Адміністратори: 0
Зареєстровані: 0
Гості: 8
Всього: 8
Список користувачів

Переглядів: 444620446966
Ваш IP: 3.237.234.213
Підтримайте проект фінансово, перевівши кошти на рахунок 5168757373477324

Календар свят і подій. Листівки, вітання та побажання

ТУТ МОЖЕ БУТИ ВАША РЕКЛАМА!

ТУТ МОЖЕ БУТИ ВАША РЕКЛАМА!

Статистика1 Статистика2

Ви користуєтесь броузером ||
При передруці та використанні матеріалів САЙТУ на інших ресурсах та публічному представленні, обов'язкове відкрите гіперпосилання на наш сайт (першоджерело) або дозвіл адміністрації.
Сайт працює на UACMS
Пошта:
© Copyright. Всі права захищені
Несвіч-Городище2-Посада
©UACMS 2008 - 2021 Protected by Copyscape
Сторінка згенерована за 0,1355 с. Шаблонізатор: 0,0013 с. Інiціалізація ядра: 0,0178 с. Пам'ять: 12,00Мб./. БД: 19 запитів за 0,0164 с. ( PHP: 88% БД: 12% )
К-сть відвідувачів по країнах
Україна Google:07.03-11:25 || Yandex:01.01-15:09 || Bing:06.03-17:05 || Yahoo: || Msn: || Rambler:
Персональний сайт Куриляка Владислава Едуардовича

Д
О
П
О
М
О
Г
А

ПОКИДАЄТЕ САЙТ?

Почитайте ще щось, адже у нас стільки всього цікавого!
До Вашої уваги статті, матеріали, публікації,калькулятори, красворди, онлайн-ігри...!

+