^^
ОНЛАЙН ТЕСТИ ДЛЯ ВСІХ
Програма телепередач усіх каналів
Гра Битва за Україну
Випадковий блок новин
Подати статтю
Світова статистика online
Польське радіо для України
Подорож онлайн
Інформаційно-освітній сайт (Категорія: Персональні сайти)
Гарного Вам настрою і позитивних емоцій. Любові, Віри і Надії! Щасливого 2022 року
Для перегляду всіх матеріалів і скачування файлів зареєструйтеся на сайті. Відвідайте форум та пограйте on-line ігри. Чекаємо відгуків у гостьовій книзі.(Інформація і технології, освіта, караоке, поезія, фізика, еротика.) Зареєстрованим-повний доступ!!! Розкажіть про наш сайт вашим друзям. Подайте своє оголошення. Приємного відпочинку.

Втрати РФ у війні з Україною на 1 червня 2022 досягли розмірів інших армій

Особовий складТанкиЛітаки
Казахстан 39000Греція 1340Білорусь 207
Швеція 29750 Тайвань 1160Швеція 204
Лаос 29100Саудівська Аравія 1062Фінляндія 194
Сербія 28150Японія 1004Філіпіни, Малайзія 170
Португалія 27200Польща 860Румунія 144
Втрати РФ 30700Втрати РФ 1361Втрати РФ 208
Україна • Талант - це здатність вірити в успіх. (Джон Леннон)
• Лихий правитель користується законом, а мудрий слухає серце.
Cторінка матеріалу «Формула Піка» з категорії 5 «Наукові»

Формула Піка

Обчислення площі многокутника дуже складний та тривалий процес. У 1899 році австрійський математик Георг Пік винайшов чудову формулу для обчислення площі многокутника на папері в клітинку. Але, на жаль, в шкільній програмі вона до цього часу не вивчається, хоча є необхідним чинником для спрощення обчислень при знаходженні площ багатокутників. Цій формулі приділив велику увагу Гуго Штейнгауз включив її в свою знамениту книгу «Математичний калейдоскоп» в 1969 році, після цього вона стала широко відома великому колу математиків.

Pозділ: •Наукові• Опубліковано: 22.02.2019
Оцінка(1) Переглядів: 2482

Багатокутник без самоперетинів називається решітчатим, якщо всі його вершини знаходяться в точках с цілочисловими координатами в декартовій системі координат. Точка координатної площини називається цілочисловою якщо обидві її координати цілі числа.

Теорема Піка (1899). Знаходження площі решітчатого многокутника

S = В + Г / 2 - 1, де В — кількість цілочислових точок всередині багатокутника, Г — кількість цілочислових точок на межі багатокутника.

формула Піка

В = 7, Г = 8, S = В + Г/2 - 1 = 10

Доведення проводитися в кілька етапів: від найпростішіх фігур до довільніх багатокутників:

Одиничний квадрат. Справді, для нього S = 1, В = 0, Г = 4, формула вірна.

Прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Нехай a і b довжини сторін прямокутника. Тоді: S = ab, В = (a-1)(b-1), Г = 2(a + b). Підстановка показує, що формула Піка вірна.

Прямокутний трикутник з катетами, які паралельні осям координат. Будь-який такий трикутник можна отримати відсіканням деякого прямокутника його діагоналлю. Позначивши через з число цілочислових точок, що лежать на діагоналі, можна показати, що формула Піка виконується для такого трикутника, незалежно від значення с.

Будь-який трикутник. Такий трикутник може бути перетворений в прямокутник приклеюванням до його сторін прямокутних трикутників з катетами, паралельними осям координат (треба не більше 3 таких трикутників). Звідси отримуємо коректність формули Піка для будь-якого трикутника.

Довільний багатокутник. Для доведення розіб'ємо його на трикутники з вершинами в цілочіслових точках. Для одного трикутника формула Піка доведена. Можна довести, що при додаванні до багатокутника трикутника формула Піка зберігає свою коректність. Звідси по індукції слідує, що вона вірна для будь-якого багатокутника.

Формула Піка, за допомогою якої можна знаходити площу фігури побудованої на аркуші в клітинку (трикутник, квадрат, трапеція, прямокутник, багатокутник) не є секретом. Багатьом цей матеріал буде дуже корисний.

В задачах, є ціла група завдань, в яких дано багатокутник побудований на аркуші в клітинку і стоїть питання про знаходження площі. Масштаб клітини це один квадратний сантиметр.

ФОРМУЛА ПІКА

Площу шуканої фігури можна знайти за формулою:

S=M/2+N-1

М – кількість вузлів на межі трикутника (на сторонах і вершинах), N – кількість вузлів всередині трикутника

Під «вузлами» мається на увазі перетин ліній.

Знайдемо площу трикутника:

1 клітинка = 1 см, M = 15 (позначені червоним), N = 34 (позначені синім)

 S=15/2+34-1=40,5см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу паралелограма:

M = 18 (позначені червоним), N = 20 (позначені синім)

S=18/2+20-1=28см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу трапеції:

M = 24 (позначені червоним) N = 25 (позначені синім)

S=24/2+25-1=36см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу багатокутника:

M = 14 (позначені червоним), N = 43 (позначені синім)

S=14/2+43-1=49см2

Зрозуміло, що знаходити площу трапеції, паралелограма, трикутника простіше і швидше за відповідними формулами площ цих фігур. Але знайте, що можна це робити і таким чином. А ось коли дано багатокутник, у якого п'ять і більше кутів ця формула працює добре.

Тепер погляньте на наступні фігури:

Це типові фігури, в завданнях стоїть питання про знаходження їх площі. За допомогою формули Піка такі завдання вирішуються моментально. Наприклад, знайдемо площу фігури:

ЗАДАЧА

M = 11 (позначені червоним), N = 5 (позначені синім)

S=11/2+5-1=9,5см2

Відповідь: 9,5

ЗАДАЧА

Багатокутник (не обов'язково опуклий) на площині заданий координатами своїх вершин. Потрібно підрахувати кількість точок з цілочисельними координатами, які лежать всередині нього (але не на його межі).

Розв'зок
Для вирішення цього завдання розглянемо допоміжну задачу: відрізок заданий координатами своїх кінців, які є цілими числами. Необхідно порахувати кількість цілочисельних точок, які лежать на відрізку. Зрозуміло, що якщо відрізок вертикальний або горизонтальний, то необхідно відняти координати кінців і додати одиницю. Інтерес представляє випадок, коли відрізок не є вертикальним або горизонтальним. Виявляється в цьому випадку необхідно добудувати відрізок до прямокутного трикутника і відповіддю буде число рівне найбільшому спільному дільнику довжин катетів цього трикутника плюс одиниця.
image

Для будь-якого багатокутника з цілочисельними координатами вершин справедлива формула Піка: S = n + m/2 — 1, де S – площа багатокутника, n – кількість цілих точок, що лежть строго всередині багатокутника, m – кількість цілих точок, що лежть на межі багатокутника. Оскільки площу багатокутника ми знаємо як обчислювати, то S відомо. Так само ми можемо обчислити кількість цілих точок,які лежать на кордоні багатокутника, тому у формулі Піка залишається лише одна невідома величина, яку ми можемо знайти.
Розглянемо приклад:
image
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точок лежить строго всередині багатокутника
Ось так от вирішується ця задача!

Оцінити цей матеріал: 
Коментарів поки немає (0)


На сайті мало коментарів, тому просимо брати активнішу участь в обговоренні.

Максимум переглядів: Статті●Календар городника на 2021-2022 рік (28489)●●Неврит лицьового нерва: лікування в домашніх умовах (16590)●●Короткий астрономічний календар на 2021-2023 рік (14354)●●СОЛОНЕ ТІСТО. ЛІПЛЕННЯ. (14130)●●Календар дат та подій (8702)●●Ігри на роздягання. (8020)●●Список безкоштовних конструкторів сайтів. Зробити сайт безкоштовно (6845)●●Прошивка тв-тюнера. BISS ключі. (6005)●●Як зробити сайт популярним? (4602)●●ЦІКАВА АСТРОНОМІЯ: Цікаві факти про космос (4469)●●МОВНІ ЗАГАДКИ (4324)●●Цікаві сайти та корисні посилання (4144)●●Віртуальні дівчата на робочий стіл (4084)●●Шукаю роботу (3878)●●Комп'ютери майбутнього. Пeрсональні комп'ютери (3802)●●Скільки сайтів в інтернеті? (3665)●●Правила етикету (3621)● Матеріали●Народні прикмети про погоду (10858)●●СВЯТО ВРОЖАЮ (6130)●●Математичні головоломки (6023)●●Визначні місця України у фотографіях (5210)●●Фізика майбутнього (4620)●●Терміни зберігання харчових продуктів (4131)●●HTML, CSS, PHP, JavaScript, SQL (4066)● Публікації●Календар знаменних та пам'ятних дат в 2020-2022 році (40605)●●Пояс Койпера і Хмара Оорта (10235)●●Скільки води на Землі? (9687)●●Українські обереги (легенди) (8897)●●ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з МАЛЮВАННЯ (7292)●●Періодична система хімічних елементів Д.І.Менделєєва (5427)● Сторінки●Календар знаменних і пам'ятних дат для школи (135327)●●Головна (110090)●●ХРИСТОС ВОСКРЕС (10263)●●Різдво Христове (7736)●●День народження (5603)●●З Новим Роком (5497)●●Цікаві тести (4452)●●Гороскопи (4325)●●Тести iq (продовження) (3898)●●Логічні ігри (3885)●●Фізика і інформатика (3813)●●Стрілялки (3654)●

Зіграйте ПАЗЛ 15


Життя кожної людини – це шлях до самої себе
Надіємось на кращий 2021 рік.
Вітаємо всіх відвідувачів сайту і

бажаємо мирного неба та гарного відпочинку.
(Адміністрація сайту)

НАШ САЙТ БЕЗ РЕКЛАМИ!!! 

Слухайте! Ніби в чарівному сні,
В школі сьогодні сіяють вогні.
Музика тут вже лунає і сміх,
Вечір у школі, вечір для всіх. 

• Одягніть на синю ручку червоний ковпачок. Ніхто не краде червоні ручки!
• Як правильно наливати сік чи молоко з тетрапаку? Наливайте сік ковпачком догори, а не донизу.
Підтримайте нас, розмістивши нашу кнопку в себе на сайті. Код:
Жарти, анекдоти, висловлювання
Які галузі знань вам подобаються? (Можна вибрати кілька пунктів)



 Результати
Відповідей: 97 ♥ Коментарів: 0Інші опитування
Радіо FM online
Місяць сьогодні
Місяць сьогодні
ІНФОРМЕРИ

Інформер цін на паливо в Україні

Коронавірус. Статистика

Конвертер валют

Зіграйте ПАЗЛ 15

Опитування
Вам подобається наш сайт?
 Результати
Відповідей: 59
Коментарів: 0
Календар
Дата:
Сонячний календар

Сонце сьогодні

Новини сайту
Втрати російської армії Актуальні політично-суспільні навини в Україні.

 29.01.2021 12:54

За 2020 рік і кінець 2019р.

 07.06.2019 10:57

Випускниця Несвічівської ЗОШ Муха Юлія - чемпіонка Європи 2016 та 2017 року з армреслінгу серед юніорів!!! Відео. ...

 25.05.2017 16:51

ЛУЦЬК УНІВЕРСИТЕТ Факультет інформаційних систем, фізики та математики.

 01.09.2016 19:22

Статті
Передумови для напруження у відносинах Росії та України та великої війни, розв'язаної 24 лютого, складалися не один десяток років.

 28.04.2022 12:25

Штучний інтелект: ігрова нейромережа DeepMind від Google навчилася грати в ігри без знання правил — їй піддалися шахи, ґо, а так...

 26.01.2022 11:51

Нові зуби можна виростити просто у роті пацієнта.

 18.12.2021 15:40

Ви можете спробувати власні сили і скласти експрес-тест з історії України.

 08.11.2021 15:55

Публікації
Фізика: всі основні формули Основні формули з шкільного курсу фізики, які повинен знати кожен...

 12.06.2022 14:48

Найбагатші країни світу несуть відповідальність за глобальний добробут і економічний прогрес, їх валовий внутрішній продукт (ВВП) настільки високий, що гарантує їм стабільну позицію серед наймогутніших країн світу протягом десятків років.

 27.04.2021 01:33

На свята не прийнято сидіти вдома.

 08.12.2019 13:00

Завершується епоха Hubble – у 2021 на орбіту виведуть телескоп Джеймс Вебб Телескоп Джеймс Вебб повинен замінити орбітальну ста...

 15.10.2019 18:15

Відео у форматі 360 градусів.

 14.09.2019 13:52

Хто на сайті
Адміністратори: 0
Зареєстровані: 0
Гості: 5
Всього: 5
Список користувачів

Переглядів: 872134
Ваш IP: 34.239.167.149
Підтримайте проект фінансово, перевівши кошти на рахунок 5168757373477324

Календар свят і подій. Листівки, вітання та побажання

ТУТ МОЖЕ БУТИ ВАША РЕКЛАМА!

Втрати російської армії станом на 27 червня 06:00

Особовий склад Особовий склад ~ 35000 +100
Танки Танки 1552 +20
Бойові броньовані машини ББМ 3687 +28
Гармати Гармати 771 +7
РСЗВ РСЗВ 243 +0
Засоби ППО Засоби ППО 101 +2
Літаки Літаки 217 +0
Гелікоптери Гелікоптери 184 +0
Автомобільна техніка Автотехніка і цистерни 2575 +11
Кораблі/катери Кораблі/катери 14 +0
БпЛА ОТР БпЛА ОТР 636 +6
Спеціальна техніка Спеціальна техніка 60 +0
Kрилаті ракети Kрилаті ракети 139+0
Полонених Полонених ∼500
ГРАФІКА
Ви користуєтесь броузером ||
При передруці та використанні матеріалів САЙТУ на інших ресурсах та публічному представленні, обов'язкове відкрите гіперпосилання на наш сайт (першоджерело) або дозвіл адміністрації.
Сайт працює на UACMS
Пошта:
© Copyright. Всі права захищені
Несвіч-Городище2-Посада
©UACMS 2008 - 2022 seo checker Protected by Copyscape MYIP INFO ↓ Similarweb info ↓ seranking ↓
Сторінка згенерована за 0,2042 с. Шаблонізатор: 0,0027 с. Інiціалізація ядра: 0,0179 с. Пам'ять: 14,00Мб./128M. БД: 19 запитів за 0,0684 с. ( PHP: 67% БД: 33% )
К-сть відвідувачів по країнах
Ми - довго запрягаємо, швидко їздимо, і сильно гальмуємо.
Україна Google:24.06-17:00 || Yandex:30.04-03:48 || Bing:27.06-06:52
Персональний сайт Куриляка Владислава Едуардовича

Д
О
П
О
М
О
Г
А

ПОКИДАЄТЕ САЙТ?

Почитайте ще щось, адже у нас стільки всього цікавого!
До Вашої уваги статті, матеріали, публікації,калькулятори, красворди, онлайн-ігри...!

+