^^
СТВОРЮЄМО САЙТИ НА ЗАМОВЛЕННЯ
ДЛЯ ЮРИДИЧНИХ ТА ФІЗИЧНИХ ОСІБ
Випадковий блок новин
Хронологія змін
Інформаційно-освітній сайт (Категорія: Персональні сайти)
Гарного Вам настрою і позитивних емоцій. Любові, Віри і Надії! Щасливого 2019 року
Для перегляду всіх матеріалів і скачування файлів зареєструйтеся на сайті. Відвідайте форум та пограйте on-line ігри. Чекаємо відгуків у гостьовій книзі.(Інформація і технології, освіта, караоке, поезія, фізика, еротика.) Зареєстрованим-повний доступ!!! Розкажіть про наш сайт вашим друзям. Подайте своє оголошення. Приємного відпочинку.
Україна
• За все в житті наступає розплата.
• Колись народ зацікавиться, чи справді у наших правителів-багачів кров блакитна.
Cторінка матеріалу «Формула Піка» з категорії 5 «Наукові»

Формула Піка

Обчислення площі многокутника дуже складний та тривалий процес. У 1899 році австрійський математик Георг Пік винайшов чудову формулу для обчислення площі многокутника на папері в клітинку. Але, на жаль, в шкільній програмі вона до цього часу не вивчається, хоча є необхідним чинником для спрощення обчислень при знаходженні площ багатокутників. Цій формулі приділив велику увагу Гуго Штейнгауз включив її в свою знамениту книгу «Математичний калейдоскоп» в 1969 році, після цього вона стала широко відома великому колу математиків.

Pозділ: •Наукові• Опубліковано: 22.02.2019
Оцінка(0) Переглядів: 19

Багатокутник без самоперетинів називається решітчатим, якщо всі його вершини знаходяться в точках с цілочисловими координатами в декартовій системі координат. Точка координатної площини називається цілочисловою якщо обидві її координати цілі числа.

Теорема Піка (1899). Знаходження площі решітчатого многокутника

S = В + Г / 2 - 1, де В — кількість цілочислових точок всередині багатокутника, Г — кількість цілочислових точок на межі багатокутника.

В = 7, Г = 8, S = В + Г/2 - 1 = 10

Доведення проводитися в кілька етапів: від найпростішіх фігур до довільніх багатокутників:

Одиничний квадрат. Справді, для нього S = 1, В = 0, Г = 4, формула вірна.

Прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Нехай a і b довжини сторін прямокутника. Тоді: S = ab, В = (a-1)(b-1), Г = 2(a + b). Підстановка показує, що формула Піка вірна.

Прямокутний трикутник з катетами, які паралельні осям координат. Будь-який такий трикутник можна отримати відсіканням деякого прямокутника його діагоналлю. Позначивши через з число цілочислових точок, що лежать на діагоналі, можна показати, що формула Піка виконується для такого трикутника, незалежно від значення с.

Будь-який трикутник. Такий трикутник може бути перетворений в прямокутник приклеюванням до його сторін прямокутних трикутників з катетами, паралельними осям координат (треба не більше 3 таких трикутників). Звідси отримуємо коректність формули Піка для будь-якого трикутника.

Довільний багатокутник. Для доведення розіб'ємо його на трикутники з вершинами в цілочісловіх точках. Для одного трикутника формула Піка доведена. Можна довести, що при додаванні до багатокутника трикутника формула Піка зберігає свою коректність. Звідси по індукції слід, що вона вірна для будь-якого багатокутника.

Формула Піка, за допомогою якої можна знаходити площу фігури побудованої на аркуші в клітинку (трикутник, квадрат, трапеція, прямокутник, багатокутник) секретною не є. Багатьом цей матеріал буде вкрай корисний.

В задачах, є ціла група завдань, в яких дано багатокутник побудований на аркуші в клітинку і стоїть питання про знаходження площі. Масштаб клітини це один квадратний сантиметр.

ФОРМУЛА ПІКА

Площу шуканої фігури можна знайти за формулою:

S=M/2+N-1

М – кількість вузлів на межі трикутника (на сторонах і вершинах), N – кількість вузлів всередині трикутника

Під «вузлами» мається на увазі перетин ліній.

Знайдемо площу трикутника:

1 клітинка = 1 см, M = 15 (позначені червоним), N = 34 (позначені синім)

 S=15/2+34-1=40,5см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу паралелограма:

M = 18 (позначені червоним), N = 20 (позначені синім)

S=18/2+20-1=28см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу трапеції:

M = 24 (позначені червоним) N = 25 (позначені синім)

S=24/2+25-1=36см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу багатокутника:

M = 14 (позначені червоним), N = 43 (позначені синім)

S=14/2+43-1=49см2

Зрозуміло, що знаходити площу трапеції, паралелограма, трикутника простіше і швидше за відповідними формулами площ цих фігур. Але знайте, що можна це робити і таким чином. А ось коли дано багатокутник, у якого п'ять і більше кутів ця формула працює добре.

Тепер погляньте на наступні фігури:

Це типові фігури, в завданнях стоїть питання про знаходження їх площі. За допомогою формули Піка такі завдання вирішуються моментально. Наприклад, знайдемо площу фігури:

ЗАДАЧА

M = 11 (позначені червоним), N = 5 (позначені синім)

S=11/2+5-1=9,5см2

Відповідь: 9,5

ЗАДАЧА

Багатокутник (не обов'язково опуклий) на площині заданий координатами своїх вершин. Потрібно підрахувати кількість точок з цілочисельними координатами, які лежать всередині нього (але не на його межі).

Розв'зок
Для вирішення цього завдання розглянемо допоміжну задачу: відрізок заданий координатами своїх кінців, які є цілими числами. Необхідно порахувати кількість цілочисельних точок, які лежать на відрізку. Зрозуміло, що якщо відрізок вертикальний або горизонтальний, то необхідно відняти координати кінців і додати одиницю. Інтерес представляє випадок, коли відрізок не є вертикальним або горизонтальним. Виявляється в цьому випадку необхідно добудувати відрізок до прямокутного трикутника і відповіддю буде число рівне найбільшому спільному дільнику довжин катетів цього трикутника плюс одиниця.
image

Для будь-якого багатокутника з цілочисельними координатами вершин справедлива формула Піка: S = n + m/2 — 1, де S – площа багатокутника, n – кількість цілих точок, що лежть строго всередині багатокутника, m – кількість цілих точок, що лежть на межі багатокутника. Оскільки площу багатокутника ми знаємо як обчислювати, то S відомо. Так само ми можемо обчислити кількість цілих точок,які лежать на кордоні багатокутника, тому у формулі Піка залишається лише одна невідома величина, яку ми можемо знайти.
Розглянемо приклад:
image
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точок лежить строго всередині багатокутника
Ось так от вирішується ця задача!

Оцінити цей матеріал: 
Коментарів поки немає (0)


На сайті мало коментарів, тому просимо брати активнішу участь в обговоренні.

Максимум переглядів: Статті●СОЛОНЕ ТІСТО. ЛІПЛЕННЯ. (7630)●●Календар дат та подій (6773)●●Короткий астрономічний календар на 2019-2020 рікк (5255)●●Ігри на роздягання. (3956)●●Як зробити сайт популярним? (3415)●●Шукаю роботу (3115)●●Цікаві сайти та корисні посилання (2890)●●Прошивка тв-тюнера. BISS ключі. (2736)● Матеріали●Математичні головоломки (4924)● Публікації●Календар знаменних та пам'ятних дат в 2018-2019 році (15349)●●Українські обереги (легенди) (5586)●●Пояс Койпера і Хмара Оорта (5333)●●ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з МАЛЮВАННЯ (4887)●●Періодична система хімічних елементів Д.І.Менделєєва (3133)● Сторінки●Навігаційна сторінка (127741)●●Головна (108691)●●ХРИСТОС ВОСКРЕС (8253)●●Гороскопи (3010)●●Логічні ігри (2763)●●Тести iq (2739)●●Стрілялки (2707)●●З Новим Роком (2661)●●Фізика і інформатика (2635)●●Тести iq (продовження) (2555)●●Різдво Христове (2519)●●Еротичні ігри (2503)●

Зіграйте ПАЗЛ 15



Життя кожної людини – це шлях до самої себе

Надіємось на кращий 2019 рік.
Вітаємо всіх відвідувачів сайту і

бажаємо мирного неба та гарного відпочинку.
(Адміністрація сайту)

НАШ САЙТ БЕЗ РЕКЛАМИ!!! 

Слухайте! Ніби в чарівному сні,
В школі сьогодні сіяють вогні.
Музика тут вже лунає і сміх,
Вечір у школі, вечір для всіх. 

• Загустілі чорнила знову стануть хорошими, якщо додати в пляшечку кілька крапель оцту.
• Лаковане взуття очищають від пилу тампоном, змоченим у молоці і змазаним яєчним білком і натирають до блиску фланеллю - при такому догляді лак не жолобиться і не тріскається.
Підтримайте нас, розмістивши нашу кнопку в себе на сайті. Код:
Жарти, анекдоти, висловлювання

Які галузі знань вам подобаються? (Можна вибрати кілька пунктів)



 Результати
Відповідей: 40 ♥ Коментарів: 0 Інші опитування

ПОКАЗАТИ РЕЗУЛЬТАТИ ПОКАЗАТИ РЕЗУЛЬТАТИ

Радіо FM online
Місяць сьогодні

Місяць сьогодні

ІНФОРМЕРИ

Зіграйте ПАЗЛ 15

Опитування
За кого будете голосувати на президентських виборах?
 Результати
Відповідей: 1
Коментарів: 0
Календар
Дата:
Новини сайту
Несвічівськa ЗОШ Відео.
Випускниця Несвічівської ЗОШ Муха Юлія - чемпіонка Європи 2016 та 2017 року з армреслінгу серед юніорів!!! Відео. ...
 25.05.2017 / 16:51
Останні новини
ЛУЦЬК УНІВЕРСИТЕТ Факультет інформаційних систем, фізики та математики. Рік заснування: 2015. Історично факультет заснований у 1
 01.09.2016 / 19:22
Нове на сайті
За літо-осінь 2018 року розроблено систему онлайн калькуляторів. Переважна більшість з них знаходиться по адресу К
 27.10.2015 / 14:49
Клієнтські скрипти для сайту
Сучасні веб-сайти все більше стають схожими на додатки, які за функціональністю не поступаються самостійним додаткам. Хочете, щоб і Ваш сайт крім гарного оформлення мав інтерактивність та функціональність повноцінного
 07.08.2015 / 15:00
Всі новини
Статті
Інтернет телебачення
Cтворити сайт, блог або просто висловити свою думку на форумі або під статтею стало справою лічених хвилин (секунд). Глобальна мережа справжній «острівець свободи», «найдемократичніший ЗМІ» і «комунікатор майбу
 20.01.2019 / 15:48
Цікаві досліди на уроках фізики
Дана сторінка розповість вам про цікаві фізичні досліди. Буде корисною для учнів і вчителів фізики.
 12.12.2018 / 15:07
Штучні продукти харчування. Харчова індустрія майбутнього
Чисельність людства зростає з кожним роком. До середини поточного сторіччя нас б
 08.11.2018 / 16:27
Яке майбутнє на нас чекає? Версії розвитку людства від провідних футурологів і науковців.
Прогнози Стівена Хокінга, Рея Курцвейла, Мітіо Каку та Патріка Такера: у майбутньому люди адаптуватимуться під гаджети, власні а ...
 11.09.2018 / 10:23
Реноме Української мови
Очевидно, досі прослідковується рядок з радянського гімну "на веки сплотила великая Русь" або інформаційні колонії Росії. Чи повинні українці миритися з другорядністю української мови в своїй державі? Чи не логічно, що Росі
 24.08.2018 / 20:07
Всі cтатті
Публікації
Троянці. Малі тіла Сонячної системи
Троянці. Малі т
 13.03.2019 / 09:28
Астрономічні відкриття пошуки знахідки
Історія астрономії Історія астроно́мії — історія становлення та розвитку астрономічної науки, процес пізнання законів руху, властивостей і розвитку астрономічних об'єктів. Є однією з найдавніших природничих наук. Невідомо, де і коли зародилась астрономія
 12.03.2019 / 22:37
Інопланетяни
В Мережі з'явилася інформація, яка буквально підірвала Інтернет. Дослідник NASA Сільвано Коломбано опублікував докумен
 13.12.2018 / 23:42
Квантова фізика і свідомість людини
Одним з найдивовижніших аспектів свідомості є здатність людини до інтуїтивних прозрінь, тобто припущень, для яких немає підстав за наявною інформацією. Таку здатність важко пояснити в рамках звичних наукових підходів, і все більш поширеною стає точка зору
 21.11.2018 / 14:09
Пори року
Пори року в малюнках і світлинах ...
 10.10.2018 / 22:13
Всі публікації
Хто на сайті
Адміністратори: 0
Зареєстровані: 0
Гості: 2
Всього: 2
Список користувачів

Переглядів:
Ваш IP: 34.228.42.25
Підтримайте проект фінансово, перевівши кошти на рахунок 5168757373477324
Популярні на сайті SWF

Календар свят і подій. Листівки, вітання та побажання

ТУТ МОЖЕ БУТИ ВАША РЕКЛАМА!

ТУТ МОЖЕ БУТИ ВАША РЕКЛАМА!

Ви користуєтесь броузером ||
При передруці та використанні матеріалів САЙТУ на інших ресурсах та публічному представленні, обов'язкове відкрите гіперпосилання на наш сайт (першоджерело) та дозвіл адміністрації.
Сайт працює на UACMS
Eл. почта: vlad1965vlad@ukr.net
Всі права захищені
Несвіч-Городище2-Посада
uacms 2008-2019
Сторінка згенерована за 0,1837 с. Шаблонізатор: 0,0605 с. Інiціалізація ядра: 0,0206 с. Пам'ять: 10,00Мб./128M. БД: 19 запитів за 0,0107 с. ( PHP: 94% БД: 6% )
К-сть відвідувачів по країнах
Україна Google:04.03-21:39 Yahoo: Msn: Yandex:22.03-21:01 Rambler: Aport: Mail.Ru:
Персональний сайт Куриляка Владислава Едуардовича

Д
О
П
О
М
О
Г
А