^^
СТВОРЮЄМО САЙТИ НА ЗАМОВЛЕННЯ
ДЛЯ ЮРИДИЧНИХ ТА ФІЗИЧНИХ ОСІБ
Випадковий блок новин
Наші координати
Світова статистика online
Інформаційно-освітній сайт (Категорія: Персональні сайти)
Гарного Вам настрою і позитивних емоцій. Любові, Віри і Надії! Щасливого 2020 року
Для перегляду всіх матеріалів і скачування файлів зареєструйтеся на сайті. Відвідайте форум та пограйте on-line ігри. Чекаємо відгуків у гостьовій книзі.(Інформація і технології, освіта, караоке, поезія, фізика, еротика.) Зареєстрованим-повний доступ!!! Розкажіть про наш сайт вашим друзям. Подайте своє оголошення. Приємного відпочинку.
Україна • Кожен помирає. Але не кожен насправді живе. (Вільям Воліс)
• Не забудьте відповісти на наше опитування.
Cторінка матеріалу «Формула Піка» з категорії 5 «Наукові»

Формула Піка

Обчислення площі многокутника дуже складний та тривалий процес. У 1899 році австрійський математик Георг Пік винайшов чудову формулу для обчислення площі многокутника на папері в клітинку. Але, на жаль, в шкільній програмі вона до цього часу не вивчається, хоча є необхідним чинником для спрощення обчислень при знаходженні площ багатокутників. Цій формулі приділив велику увагу Гуго Штейнгауз включив її в свою знамениту книгу «Математичний калейдоскоп» в 1969 році, після цього вона стала широко відома великому колу математиків.

Pозділ: •Наукові• Опубліковано: 22.02.2019
Оцінка(0) Переглядів: 646

Багатокутник без самоперетинів називається решітчатим, якщо всі його вершини знаходяться в точках с цілочисловими координатами в декартовій системі координат. Точка координатної площини називається цілочисловою якщо обидві її координати цілі числа.

Теорема Піка (1899). Знаходження площі решітчатого многокутника

S = В + Г / 2 - 1, де В — кількість цілочислових точок всередині багатокутника, Г — кількість цілочислових точок на межі багатокутника.

В = 7, Г = 8, S = В + Г/2 - 1 = 10

Доведення проводитися в кілька етапів: від найпростішіх фігур до довільніх багатокутників:

Одиничний квадрат. Справді, для нього S = 1, В = 0, Г = 4, формула вірна.

Прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Нехай a і b довжини сторін прямокутника. Тоді: S = ab, В = (a-1)(b-1), Г = 2(a + b). Підстановка показує, що формула Піка вірна.

Прямокутний трикутник з катетами, які паралельні осям координат. Будь-який такий трикутник можна отримати відсіканням деякого прямокутника його діагоналлю. Позначивши через з число цілочислових точок, що лежать на діагоналі, можна показати, що формула Піка виконується для такого трикутника, незалежно від значення с.

Будь-який трикутник. Такий трикутник може бути перетворений в прямокутник приклеюванням до його сторін прямокутних трикутників з катетами, паралельними осям координат (треба не більше 3 таких трикутників). Звідси отримуємо коректність формули Піка для будь-якого трикутника.

Довільний багатокутник. Для доведення розіб'ємо його на трикутники з вершинами в цілочісловіх точках. Для одного трикутника формула Піка доведена. Можна довести, що при додаванні до багатокутника трикутника формула Піка зберігає свою коректність. Звідси по індукції слід, що вона вірна для будь-якого багатокутника.

Формула Піка, за допомогою якої можна знаходити площу фігури побудованої на аркуші в клітинку (трикутник, квадрат, трапеція, прямокутник, багатокутник) секретною не є. Багатьом цей матеріал буде вкрай корисний.

В задачах, є ціла група завдань, в яких дано багатокутник побудований на аркуші в клітинку і стоїть питання про знаходження площі. Масштаб клітини це один квадратний сантиметр.

ФОРМУЛА ПІКА

Площу шуканої фігури можна знайти за формулою:

S=M/2+N-1

М – кількість вузлів на межі трикутника (на сторонах і вершинах), N – кількість вузлів всередині трикутника

Під «вузлами» мається на увазі перетин ліній.

Знайдемо площу трикутника:

1 клітинка = 1 см, M = 15 (позначені червоним), N = 34 (позначені синім)

 S=15/2+34-1=40,5см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу паралелограма:

M = 18 (позначені червоним), N = 20 (позначені синім)

S=18/2+20-1=28см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу трапеції:

M = 24 (позначені червоним) N = 25 (позначені синім)

S=24/2+25-1=36см2

ЗАДАЧА Знайдемо площу багатокутника:

M = 14 (позначені червоним), N = 43 (позначені синім)

S=14/2+43-1=49см2

Зрозуміло, що знаходити площу трапеції, паралелограма, трикутника простіше і швидше за відповідними формулами площ цих фігур. Але знайте, що можна це робити і таким чином. А ось коли дано багатокутник, у якого п'ять і більше кутів ця формула працює добре.

Тепер погляньте на наступні фігури:

Це типові фігури, в завданнях стоїть питання про знаходження їх площі. За допомогою формули Піка такі завдання вирішуються моментально. Наприклад, знайдемо площу фігури:

ЗАДАЧА

M = 11 (позначені червоним), N = 5 (позначені синім)

S=11/2+5-1=9,5см2

Відповідь: 9,5

ЗАДАЧА

Багатокутник (не обов'язково опуклий) на площині заданий координатами своїх вершин. Потрібно підрахувати кількість точок з цілочисельними координатами, які лежать всередині нього (але не на його межі).

Розв'зок
Для вирішення цього завдання розглянемо допоміжну задачу: відрізок заданий координатами своїх кінців, які є цілими числами. Необхідно порахувати кількість цілочисельних точок, які лежать на відрізку. Зрозуміло, що якщо відрізок вертикальний або горизонтальний, то необхідно відняти координати кінців і додати одиницю. Інтерес представляє випадок, коли відрізок не є вертикальним або горизонтальним. Виявляється в цьому випадку необхідно добудувати відрізок до прямокутного трикутника і відповіддю буде число рівне найбільшому спільному дільнику довжин катетів цього трикутника плюс одиниця.
image

Для будь-якого багатокутника з цілочисельними координатами вершин справедлива формула Піка: S = n + m/2 — 1, де S – площа багатокутника, n – кількість цілих точок, що лежть строго всередині багатокутника, m – кількість цілих точок, що лежть на межі багатокутника. Оскільки площу багатокутника ми знаємо як обчислювати, то S відомо. Так само ми можемо обчислити кількість цілих точок,які лежать на кордоні багатокутника, тому у формулі Піка залишається лише одна невідома величина, яку ми можемо знайти.
Розглянемо приклад:
image
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точок лежить строго всередині багатокутника
Ось так от вирішується ця задача!

Оцінити цей матеріал: 
Коментарів поки немає (0)


На сайті мало коментарів, тому просимо брати активнішу участь в обговоренні.

Зіграйте ПАЗЛ 15


Життя кожної людини – це шлях до самої себе
Надіємось на кращий 2020 рік.
Вітаємо всіх відвідувачів сайту і

бажаємо мирного неба та гарного відпочинку.
(Адміністрація сайту)

НАШ САЙТ БЕЗ РЕКЛАМИ!!! 

Слухайте! Ніби в чарівному сні,
В школі сьогодні сіяють вогні.
Музика тут вже лунає і сміх,
Вечір у школі, вечір для всіх. 

• Ювелірні прикраси зручно чистити шматочками оксамиту або вельвету. А потемнілі від часу золоті та позолочені вироби може освіжити сік цибулі. Натріть їх поверхню, дайте висохнути. А через півтора-дві години сполосніть водою і дайте висохнути.
• Для зниження рівня радіації на робочому місці достатньо поставити поруч з комп'ютером звичайний кактус. Його антирадіаційні властивості, як припускають, пояснюються пристосованістю цієї рослини до виживання.
Підтримайте нас, розмістивши нашу кнопку в себе на сайті. Код:
Жарти, анекдоти, висловлювання

Які галузі знань вам подобаються? (Можна вибрати кілька пунктів)



 Результати
Відповідей: 47 ♥ Коментарів: 0Інші опитування
Радіо FM online
Місяць сьогодні
Місяць сьогодні
ІНФОРМЕРИ

Інформер цін на паливо в Україні

Коронавірус. Статистика

Зіграйте ПАЗЛ 15

Опитування
Вам подобається наш сайт?
 Результати
Відповідей: 35
Коментарів: 0
Календар
Дата:
Новини сайту
Нове на сайті
За 2020 рік і кінець 2019р. наповнення с
 07.06.2019 10:57
Несвічівськa ЗОШ Відео.
Випускниця Несвічівської ЗОШ Муха Юлія - чемпіонка Європи 2016 та 2017 року з армреслінгу серед юніорів!!! Відео. ...
 25.05.2017 16:51
Останні новини
ЛУЦЬК УНІВЕРСИТЕТ Факультет інформаційних систем, фізики та математики. Рік заснування: 2015. Історично факультет заснований у 1
 01.09.2016 19:22
Сторінкa JavaScript
Сучасні веб-сайти все більше стають схожими на додатки, які за функціональністю не поступаються самостійним додаткам. Хочете, щоб і Ваш сайт крім гарного оформлення мав інтерактивність та функціональність повноцінного
 07.08.2015 15:00
Всі новини
Статті
Українська пісня
Українська пісня - мелодійна, пристрасна, магічна, весела, бойова, загадкова, релігійна... Давня і сучасна, небесна і земна. Ні одна нація не має такої кількост
 19.03.2020 19:52
Клавішні електромузикальні синтезатори
1.
 11.03.2020 13:43
Математика у віршах
Математика у віршах для дітей ...
 01.02.2020 12:00
5G & IoT: концепції майбутнього
Нова технологічна революція в бездротових мережах. Запуск п'ятого покоління стільникового зв'я
 06.12.2019 15:54
Населення світу на сьогодні
Населення світу на сьогодні. Онлайн статистика. Лічи
 25.11.2019 15:43
Всі cтатті
Публікації
Визначні місця України
На свята не прийнято сидіти вдома. Кілька вихідних днів можна
 08.12.2019 13:00
Джеймс Вебб – телескоп нового покоління.
Завершується епоха Hubble – у 2021 на орбіту виведуть телескоп Джеймс Вебб Телескоп Джеймс Вебб повинен замінити орбітальну ста ...
 15.10.2019 18:15
Відео у форматі 360 градусів
Відео у форматі 360 градусів. Панорамне відео і ві
 14.09.2019 13:52
Зіткнення Землі з небесним тілом
За рік поруч із Землею пролітає більше сотні астероїдів. Дослідження говорить про те, що найбільшу небе
 06.08.2019 22:47
ВІД ЕОМ ДО КВАНТОВИХ КОМП’ЮТЕРІВ
Теоретично квантовий комп’ютер буде здатний в одну мить проводити мільйон обчислень, в той час як класичний — тільки ...
 01.08.2019 11:32
Всі публікації
Хто на сайті
Адміністратори: 0
Зареєстровані: 0
Гості: 15
Всього: 15
Список користувачів

Переглядів:
Ваш IP: 18.206.187.81
Підтримайте проект фінансово, перевівши кошти на рахунок 5168757373477324

Календар свят і подій. Листівки, вітання та побажання

ТУТ МОЖЕ БУТИ ВАША РЕКЛАМА!

ТУТ МОЖЕ БУТИ ВАША РЕКЛАМА!

Статистика1 Статистика2

Ви користуєтесь броузером ||
При передруці та використанні матеріалів САЙТУ на інших ресурсах та публічному представленні, обов'язкове відкрите гіперпосилання на наш сайт (першоджерело) та дозвіл адміністрації.
Сайт працює на UACMS
Eл. почта: адміністрація
© Copyright. Всі права захищені
Несвіч-Городище2-Посада
uacms 2008-2020Protected by Copyscape
Сторінка згенерована за 0,1198 с. Шаблонізатор: 0,0032 с. Інiціалізація ядра: 0,0125 с. Пам'ять: 12,00Мб./. БД: 19 запитів за 0,0151 с. ( PHP: 87% БД: 13% )
К-сть відвідувачів по країнах
Україна Google:25.05-15:01 || Yandex:26.05-05:52 || Bing:15.05-17:52 || Yahoo: || Msn: || Rambler:
Персональний сайт Куриляка Владислава Едуардовича

Д
О
П
О
М
О
Г
А

Ви куди???

Почитайте ще щось, адже у нас стільkи всього цікавого!
Будь ласка! До Вашої уваги статті, матеріали, публікації!

+