Багатокутник без самоперетинів називається решітчатим, якщо всі його вершини знаходяться в точках с цілочисловими координатами в декартовій системі координат. Точка координатної площини називається цілочисловою якщо обидві її координати цілі числа.
Теорема Піка (1899). Знаходження площі решітчатого многокутника
S = В + Г / 2 - 1, де В — кількість цілочислових точок всередині багатокутника, Г — кількість цілочислових точок на межі багатокутника.
В = 7, Г = 8, S = В + Г/2 - 1 = 10
Доведення проводитися в кілька етапів: від найпростішіх фігур до довільніх багатокутників:
Одиничний квадрат. Справді, для нього S = 1, В = 0, Г = 4, формула вірна.
Прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Нехай a і b довжини сторін прямокутника. Тоді: S = ab, В = (a-1)(b-1), Г = 2(a + b). Підстановка показує, що формула Піка вірна.
Прямокутний трикутник з катетами, які паралельні осям координат. Будь-який такий трикутник можна отримати відсіканням деякого прямокутника його діагоналлю. Позначивши через з число цілочислових точок, що лежать на діагоналі, можна показати, що формула Піка виконується для такого трикутника, незалежно від значення с.
Будь-який трикутник. Такий трикутник може бути перетворений в прямокутник приклеюванням до його сторін прямокутних трикутників з катетами, паралельними осям координат (треба не більше 3 таких трикутників). Звідси отримуємо коректність формули Піка для будь-якого трикутника.
Довільний багатокутник. Для доведення розіб'ємо його на трикутники з вершинами в цілочіслових точках. Для одного трикутника формула Піка доведена. Можна довести, що при додаванні до багатокутника трикутника формула Піка зберігає свою коректність. Звідси по індукції слідує, що вона вірна для будь-якого багатокутника.
Формула Піка, за допомогою якої можна знаходити площу фігури побудованої на аркуші в клітинку (трикутник, квадрат, трапеція, прямокутник, багатокутник) не є секретом. Багатьом цей матеріал буде дуже корисний.
В задачах, є ціла група завдань, в яких дано багатокутник побудований на аркуші в клітинку і стоїть питання про знаходження площі. Масштаб клітини це один квадратний сантиметр.
ФОРМУЛА ПІКА
Площу шуканої фігури можна знайти за формулою:
S=M/2+N-1
М – кількість вузлів на межі трикутника (на сторонах і вершинах), N – кількість вузлів всередині трикутника
Під «вузлами» мається на увазі перетин ліній.
Знайдемо площу трикутника:
1 клітинка = 1 см, M = 15 (позначені червоним), N = 34 (позначені синім)
S=15/2+34-1=40,5см2
ЗАДАЧА Знайдемо площу паралелограма:
M = 18 (позначені червоним), N = 20 (позначені синім)
S=18/2+20-1=28см2
ЗАДАЧА Знайдемо площу трапеції:
M = 24 (позначені червоним) N = 25 (позначені синім)
S=24/2+25-1=36см2
ЗАДАЧА Знайдемо площу багатокутника:
M = 14 (позначені червоним), N = 43 (позначені синім)
S=14/2+43-1=49см2
Зрозуміло, що знаходити площу трапеції, паралелограма, трикутника простіше і швидше за відповідними формулами площ цих фігур. Але знайте, що можна це робити і таким чином. А ось коли дано багатокутник, у якого п'ять і більше кутів ця формула працює добре.
Тепер погляньте на наступні фігури:
Це типові фігури, в завданнях стоїть питання про знаходження їх площі. За допомогою формули Піка такі завдання вирішуються моментально. Наприклад, знайдемо площу фігури:
ЗАДАЧА
M = 11 (позначені червоним), N = 5 (позначені синім)
S=11/2+5-1=9,5см2
Відповідь: 9,5
ЗАДАЧА
Багатокутник (не обов'язково опуклий) на площині заданий координатами своїх вершин. Потрібно підрахувати кількість точок з цілочисельними координатами, які лежать всередині нього (але не на його межі).
Розв'зок
Для вирішення цього завдання розглянемо допоміжну задачу: відрізок заданий координатами своїх кінців, які є цілими числами. Необхідно порахувати кількість цілочисельних точок, які лежать на відрізку. Зрозуміло, що якщо відрізок вертикальний або горизонтальний, то необхідно відняти координати кінців і додати одиницю. Інтерес представляє випадок, коли відрізок не є вертикальним або горизонтальним. Виявляється в цьому випадку необхідно добудувати відрізок до прямокутного трикутника і відповіддю буде число рівне найбільшому спільному дільнику довжин катетів цього трикутника плюс одиниця.
Для будь-якого багатокутника з цілочисельними координатами вершин справедлива формула Піка: S = n + m/2 — 1, де S – площа багатокутника, n – кількість цілих точок, що лежть строго всередині багатокутника, m – кількість цілих точок, що лежть на межі багатокутника. Оскільки площу багатокутника ми знаємо як обчислювати, то S відомо. Так само ми можемо обчислити кількість цілих точок,які лежать на кордоні багатокутника, тому у формулі Піка залишається лише одна невідома величина, яку ми можемо знайти.
Розглянемо приклад:
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точок лежить строго всередині багатокутника
Ось так от вирішується ця задача!