Для медіан трикутника справедливі наступні твердження:
- Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них по відношенню до 2: 1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром ваги трикутника.
- Медіана розбиває трикутник на два трикутника з однаковою площею
- Весь трикутник розділяється своїми медианами на шість рівновеликих трикутників.
- У трикутник медіана, опущена на основу, є висотою і бісектрисою.
- У рівнобічному трикутнику кожна медіана є висотою і бісектрисою.
Формула для обчислення медіани
де c – сторона трикутника, до якої проводиться медіана, a i b – дві інші сторони цього трикутника.
Щоб по сторонах і медіані знайти сторону трикутника, досить знати хід виконання задачі. Вчити додаткову формулу не обов'язково. По двох сторонах і медіані знайти третю сторону трикутника - задача, зворотна знаходженню медіани трикутника за трьома його сторонами. Спочатку розглянемо, як по сторонах і медіані знайти сторону трикутника, в загальному вигляді.
Нехай в трикутнику ABC відомі сторони AB = c, AC = b і медіана BF = m.
На промені BF відкладемо відрізок FD, FD = BF і з'єднаємо точку D з точками A і C.
Оскільки в отриманому чотирикутнику ABCD діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то ABCD - паралелограм (за ознакою). А значить, ми можемо застосувати властивість діагоналей паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Маємо: AC² + BD² = 2 (AB² + BC²). Звідси b² + (2m) ² = 2 (c² + BC²), b² + 4m² = 2c² + 2BC², BC² = (b² + 4m²-2c²) / 2.
Переходимо до розв'язання конкретного завдання.
По двох сторонах 6 см і 8 см і медіані, проведеної до третьої сторони, знайти невідому сторону трикутника. Довжина медіани дорівнює √46 см.
Нехай AB = 6 см, BC = 8 см, BF = √46 см. Міркуючи аналогічно, отримуємо: AC² + BD² = 2 (AB² + BC²), AC² + (2√46) ² = 2 (6² + 8²), AC² + 4 ∙ 46 = 200, AC² = 200-184 = 16, AC = 4 см.
Бісектриси трикутника
Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.
На малюнку 208 відрізок АL1 — бісектриса трикутника АВС. Точку L1 називають основою бісектриси АL1. Будь-який трикутник має три бісектриси. На малюнку 209 АL1, ВL2, СL3 — бісектриси трикутника.
Властивості бісектриси трикутника.
1. У будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці, яка називається інцентром. На мал.209 точка І — інцентр трикутника.
2. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам. На мал.208 АL1 — бісектриса трикутника. Тоді
AB/BL1 = AC/L1C Звідси слідує, що AB/AC = BL/L1C1
Приклад 1. У трикутнику АВС АВ = 6 см; АС = 12 см; АL1 — бісектриса. Більший з відрізків, на які бісектриса АL1 ділить сторону ВС, дорівнює 6 см. Знайдіть ВС.
Розв’язання. Оскільки AB/AC = BL/L1C1 i AB < AC то і BL1 < L1C Тоді виходячи з умови L1С = 6 см, маємо BC = BL1 + L1C = 6 + 3 = 9(см).
Довжину бісектриси трикутника lа, проведеної до сторони а (мал. 208) можна знайти за формулами:
де b, с — сторони трикутника; b1 і с1 — відрізки сторони а, на які її ділить бісектриса;
Приклад 2. Обчисліть бісектрису АL1 трикутника АВС, якщо АВ = 12 см; АС = 15 см; ВС = 18 см.
Розв’язання (мал. 208). Позначимо ВL1 = х, тоді L1С = 18 - х. За властивістю бісектриси маємо AB/BL1 = AC/L1C; 12/X = 15/(18-X); 216 - 12X = 15X; 27X = 216; X = 8.
Отже, ВL1 = 8 см; L1С = 10 см.
За формулою для обчислення довжини бісектриси маємо
Калькулятор трикутника - наш онлайн калькулятор для розрахунку елементів трикутника